ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число. Даны положительные числа a1, a2, ..., an. Известно, что a1 + a2 + ... + an ≤ ½. Докажите, что (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2. Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°. Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1.
Докажите неравенство: Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось: КРОСС + 2011 = СТАРТ. Докажите, что Паша ошибся. Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны. На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает
сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l,
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼. Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC. Показать, что если a > b > 0, то разность между средним
арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°. Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... . Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты соответственно точки E и F так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок EF , на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки E . Найдите длину отрезка EF . Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что |
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что
сумма каждых трёх из них есть простое число?
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ...,
1001! + 1001).
Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что
Доказать, что наибольший общий делитель чисел вида p4 – 1, где p – простое число, большее 5, равен 240.
Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке