Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

Вниз   Решение


Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.

ВверхВниз   Решение


Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось:  КРОСС + 2011 = СТАРТ.  Докажите, что Паша ошибся.

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

ВверхВниз   Решение


На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

ВверхВниз   Решение


Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l, $ \angle$BCK = $ \alpha$, $ \angle$CBL = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность треугольника ABC  (AB > BC)  касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Показать, что если  a > b > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между     и  

ВверхВниз   Решение


Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.

ВверхВниз   Решение


Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .
На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?

ВверхВниз   Решение


Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты соответственно точки E и F так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок EF , на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки E . Найдите длину отрезка EF .

ВверхВниз   Решение


Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что    – также натуральное число.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]      



Задача 98282

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98538

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 104099

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что    – также натуральное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108747

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что наибольший общий делитель чисел вида  p4 – 1,  где p – простое число, большее 5, равен 240.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109496

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .