Страница:
<< 53 54 55 56
57 58 59 >> [Всего задач: 333]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a1, a2, a3, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Назовём тройку чисел
триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
P и Q – подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента (p1, ..., pn) множества P и каждого элемента (q1, ..., qn) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для любого натурального числа n сумма 
делится на 2n–1. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть
из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку
x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько
прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.
Страница:
<< 53 54 55 56
57 58 59 >> [Всего задач: 333]
Фильтр
Решение 
