Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 332]

Задача 97969

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теория групп (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шевелев В.С.

Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла (вертикальные и горизонтальные ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105160

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Межиров И.В., Спивак А.В., Чернов А. А.

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109791

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Раскраски	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116693

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10

Автор: Шаповалов А.В.

По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79422

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам x и y вычислить xy + x + y + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена 1 + x + x² + ... + x¹⁹⁸². Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов f₁(x), ..., f_n(x), что f₁(x) = x и для любого i = 2, ..., n f_i(x) – константа или
f_i(x) = f_j(x)·f_k(x) + f_k(x) + f_j(x) + 1, где j < i, k < i, причём f_n(x) = 1 + x + ... + x¹⁹⁸².
а) Помогите Пете написать "программу".
б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию xy + x + y?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 332]