Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 81]

Задача 76485

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n, принимающий при x = 0 и x = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60482

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79536

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть x и y – натуральные числа. Рассмотрим функцию f(x, y) = ½ (x + y – 1)(x + y – 2) + y. Докажите, что множеством значений этой функции являются все натуральные числа, причём для любого натурального i = f(x, y) числа x и y определяются однозначно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105169

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Ященко И.В., Блинков А.Д., Голенищева-Кутузова Т.И.

У квадратного уравнения x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64728

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Гашков С.Б., Фольклор

Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа f(1), f(2), ..., f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 81]