ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]      



Задача 61452

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

  а) Пусть q – натуральное число и функция   f(x) = cqx + anxn + ... + a1x + a0  принимает целые значения при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число  f(x) также будет целым.
  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  f(x) делится на некоторое целое  m ≥ 1  при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.  Докажите, что  f(x) делится на m при всех натуральных x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97784

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109775

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Системы счисления (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60473

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Верно ли, что многочлен  P(n) = n² + n + 41  при всех n принимает только простые значения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97934

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство:  p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .