ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]      



Задача 35143

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105117

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Итерации ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110100

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110175

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что  P(1) + P(2) + ... + P(n)  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61451

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Интерполяционный многочлен Ньютона ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если многочлен  f(x) степени n принимает целые значения в точках  x = 0, 1, ..., n,  то он принимает целые значения во всех целых точках.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .