Версия для печати
Убрать все задачи

---

Разложить на множители:  (b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³.

   Решение

---

В треугольнике ABC  AA₀ и BB₀ – медианы, AA₁ и BB₁ – высоты. Описанные окружности треугольников CA₀B₀ и CA₁B₁ вторично пересекаются в точке M_c. Аналогично определяются точки M_a, M_b. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c лежат на одной прямой, а прямые AM_a, BM_b, CM_c параллельны.

   Решение

---

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+4)5-5x на отрезке [-3,5;0] .

   Решение

---

Докажите, что для любого  k > 1  найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

   Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64532

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64730

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98090

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107771

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого  k > 1  найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109758

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной  1 + ½ + ... + ¹/_n,  не является степенью простого числа с натуральным показателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями