Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника равна удвоенному квадрату радиуса окружности, описанной около треугольника, умноженному на произведение синусов углов треугольника, т.е.

где , , — углы треугольника, а R — радиус его описанной окружности.

   Решение

---

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S₁ и S₂. Найдите площадь третьего.

   Решение

---

Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

   Решение

---

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

   Решение

---

Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78806

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107777

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108177

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один – остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111470

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111472

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S₁ и S₂. Найдите площадь третьего.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями