Каталог по темам

Задачи

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1007]

Задача 108167

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Диагональ AC трапеции ABCD равна боковой стороне CD. Прямая, симметричная BD относительно AD, пересекает прямую AC в точке E.
Докажите, что прямая AB делит отрезок DE пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108227

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Исаев М., Цветов Д.

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA·OC = OB·OD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108907

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть BM – медиана остроугольного треугольника ABC. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABM, и касательная в точке C к описанной окружности треугольника BCM, пересекаются в точке D. Докажите, что точка K, симметричная точке D относительно прямой AC лежит на прямой BM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108940

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Две пары подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что середина отрезка DE лежит на стороне AB, середина отрезка DF лежит на стороне BC и EDA = ∠FDC. Середина K отрезка EF лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что ∠ABD = ∠CBK.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110792

Темы:	[	Признаки подобия	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Преобразования подобия (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Акопян А.В.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA₁ взята такая точка A', что AA' : A₁A' = BC : B₁C₁. Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1007]