Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.

   Решение

---

Середины сторон выпуклого шестиугольника образуют шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны.
Докажите, что большие диагонали исходного шестиугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 382]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55765

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55781

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждой из сторон треугольника ABC построено по прямоугольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок).
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с соответствующими вершинами треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102209

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольник ABC со сторонами  AB = 6,  BC = 5,  AC = 7  вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102210

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольник MNK со сторонами  MN = 6,  NK = 7  и углом 60° при вершине N вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне MK. Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой KR треугольника MNK в точке O. Найдите длину отрезка OK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108881

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Середины сторон выпуклого шестиугольника образуют шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны.
Докажите, что большие диагонали исходного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 382]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями