Каталог по темам

Задачи

Страница: << 150 151 152 153 154 155 156 >> [Всего задач: 1308]

Задача 105179

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Назовём натуральное число разрешённым, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из 2004! камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешённое количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107633

Темы:	[	Взвешивания	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Антиквар приобрёл 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно одна из монет — фальшивая — легче настоящих (а настоящие весят одинаково). Как, используя чашечные весы без гирь, за 7 взвешиваний выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз ?

Прислать комментарий Решение

Задача 109178

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Взвешивания	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Прислать комментарий Решение

Задача 109550

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Авторы: Богопольский О., Фон-дер-Флаас Д.

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Прислать комментарий Решение

Задача 109637

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число x.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 150 151 152 153 154 155 156 >> [Всего задач: 1308]