Версия для печати
Убрать все задачи

---

Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?

   Решение

---

У Пети есть 12 одинаковых разноцветных вагончиков (некоторые, возможно, одного цвета, но неизвестно, сколько вагончиков какого цвета). Петя считает, что различных 12-вагонных поездов он сможет составить больше, чем 11-вагонных. Не ошибается ли Петя? (Поезда считаются одинаковыми, если в них на одних и тех же местах находятся вагончики одного и того же цвета.)

   Решение

---

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AD < AB. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66611

Темы:   [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73625

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Если x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n — натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности x_k+1 - x_k к числу x_k+1, меньше суммы чисел 1, ¹/₂, ¹/₃, ..., ¹/_n². Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108989

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Решить систему уравнений

   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109157

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Доказать, что для любого целого n число     можно представить в виде разности     где k – целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109530

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями