Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника 1x 1994 . Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом n+1 . Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.

   Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 328]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61526

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Многочлены Гаусса ] [ Производящие функции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

  Пусть f_k,l(x) – производящая функция последовательности P_k,l(n) из задачи 61525:   f_k,l(x) = P_k,l(0) + xP_k,l(1) + ... + x^klP_k,l(kl).

  а) Докажите равенства:  f_k,l(x) = f_k–1,l(x) + x^kf_k,l–1(x) = f_k,l–1(x) + x^lf_k–1,l(x).

  б) Докажите, что функции f_k,l(x) совпадают с многочленами Гаусса g_k,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109570

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника 1x 1994 . Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом n+1 . Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35467

Темы:   [ Средние величины ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65130

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98616

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В однокруговом турнире участвовали 15 команд.
  а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.
  б) Могла ли такая игра быть единственной?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 328]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями