Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

   Решение

---

Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что  AD = 10,  BC = 2,  AB = CD = 5.  Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC
в точке K. Найдите биссектрису угла ABK в треугольнике ABK.

   Решение

---

На луче OX отложены последовательно точки A и C, а на луче OY – B и D. При этом  OA = OB  и  AC = BD.  Прямые AD и BC пересекаются в точке E.
Докажите, что луч OE – биссектриса угла XOY.

   Решение

---

Радиус вписанной в треугольник PQR окружности равен 5, причём   RP = RQ.  На прямой PQ взята точка A, удалённая от прямых PR и QR на расстояния 12 и 2 соответственно. Найдите косинус угла AQR.

   Решение

---

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке K. Известно, что  AC || BD.  Докажите, что треугольники AKC и BKD равнобедренные.

   Решение

---

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109605

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110130

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Десятичная система счисления ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110137

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Десятичная система счисления ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110160

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110926

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
  а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при  N = 10?
  б) А при  N = 12?
  в) А при  N = 15?
  г) А при  N = 30?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 277]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями