Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?
Окружность с центром I касается сторон AB , BC , AC неравнобедренного треугольника ABC в точках C1 , A1 , B1 соответственно. Окружности ωB и ωC вписаны в четырехугольники BA1IC1 и CA1IB1 соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к ωB и ωC , отличная от IA1 , проходит через точку A .
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Точки Q и R расположены соответственно на сторонах MN и MP треугольника MNP, причём MQ = 3, MR = 4. Найдите площадь треугольника MQR, если MN = 4, MP = 5, NP = 6.
На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты
точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что
площадь треугольника A'B'C' равна
где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне AC, причём AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5;
an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K . Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC , то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K .
В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 рубль за 1 кг. 27 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цены на винтики на 50% и снижении цены на шпунтики на 50%. 28 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цены на винтики на 50% и повышении цены на шпунтики на 50%. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешёвым в марте?
Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.
а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного
треугольника ABC расположены точки соответственно
M и N так, что = m ,
=
n . Прямая MN пересекает высоту BD треугольника в
точке O . Найдите отношение
.
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Задача 105127 |
|
|
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
|
|
Решение |
Задача 32893 |
|
|
Про положительные числа a, b, c, d, e известно, что a² + b² + c² + d² + e² = ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de.
Докажите, что среди этих чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 110207 |
|
|
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
|
|
Решение |
Задача 79421 |
|
|
а) a, b, c — длины сторон треугольника. Доказать, что
a4 + b4 + c4 − 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) + a2bc + b2ac + c2ab ≥ 0.
б) Доказать, что
a4 + b4 + c4 − 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) + a2bc + b2ac + c2ab ≥ 0 для любых
неотрицательных a, b, c.
|
|
|
Решение |
Задача 64715 |
|
|
Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
