Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при всех $x$ , $0 < x < \pi/3$ , справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$ .

Решение

Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.

Решение

Автор: Швецов Д.В.

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$ , $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$ , $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$ .

Решение

Определите вид тела, полученного в результате вращения квадрата вокруг его диагонали.

Решение

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно

а) по 2 монеты; б) по 3 монеты; в) по 4 монеты;

г) по 5 монет; д) по 6 монет; е) по 7 монет?

(Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.

Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .

Решение

Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.

Решение

Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 2004-м?

Решение

Найдите наименьшее значение функции y = (x-7)e^x-6 на отрезке [5;7] .

Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер BA , BB1 , BC и плоскости A1DC1 ; б) рёбер BA , BB1 , BC и прямой DA1 .

Решение

Задача 79298

Задача 110576

Задача 110577

Задача 110578

Задача 110579