Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 97]

Задача 110130

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храмцов Д.

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115986

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109920

Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Иррациональные уравнения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Прислать комментарий

Решение

Задача 111723

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Формула Герона	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c и площадью S выполнено неравенство

a²+b²+c²- (|a-b|+|b-c|+|c-a|)² 4 S.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58268

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 97]