Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 115]

Задача 111515

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите радиус окружности, касающейся двух равных окружностей радиуса R и их общей касательной прямой. Равные окружности касаются друг друга.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры равных касающихся в точке A окружностей, O – центр искомой окружности радиуса r , B и C точки касания с данной прямой окружностей с центрами O1 и O соответственно. Точки A , O и C лежат на одной прямой, поэтому

AO = AC-OC = O1B-OC=R-r.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OO1 = R+r . По теореме Пифагора
OO12=AO2+O1A2, (R+r)2= (R-r)2+R2,
откуда находим, что r= .

Ответ

.

Прислать комментарий

Задача 116346

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .

Решение

Пусть M, N и K – точки касания с прямой l окружностей с центрами A, B и С cоответственно.

Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, расстояние между центрами A и C равно сумме радиусов этих окружностей, т.е. AC = a + c. Пусть F – проекция точки C на радиус AM окружности с центром A, проведённый в точку касания с прямой l. Тогда четырёхугольник CKMF – прямоугольник, поэтому KM = CF. Из прямоугольного треугольника AFC находим, что

Следовательно, . Аналогично, и . Точка K лежит между M и N, поэтому MN = KN + KM, или . Разделив обе части этого равенства на , получим, что .

Прислать комментарий

Задача 52707

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В острый угол, равный 60^o, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла.

Решение

Пусть R — радиус большей окружности. Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон данного угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r, катетом R - r и острым углом, равным 30^o, противолежащим этому катету. Тогда

R + r = 2(R - r).

Отсюда находим, что R = 3r.

Ответ

3r.

Прислать комментарий

Задача 52711

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, и центр которой находится в точке касания окружностей между собой.

Решение

Пусть окружности радиусов r и R c центрами O₁ и O₂ касаются одной из сторон угла в точках A и B соответственно, а искомая окружность с центром K касается этой стороны в точке C.
Диагонали трапеции O₁ABO₂ делятся своей точкой пересечения P в отношении R : r. Следовательно, точка P лежит на отрезке KC. Согласно задаче 115592 его длина равна ^2rR/_R+r.

Ответ

^2rR/_R+r.

Прислать комментарий

Задача 54548

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Подсказка

Вычислите расстояние от прямой M до прямой m.

Решение

Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей радиусов r и R, A и B – точки касания этих окружностей с прямой m.
Окружности гомотетичны относительно точки M с коэффициентом ^r/_R. Значит, O₁M : O₂M = r : R.
В таком же отношении делит боковые стороны трапеции AO₁O₂B прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку пересечения её диагоналей (см. рис.).

Пусть N – проекция точки M на прямую m. Согласно решению задачи 115592 MN = ^2rR/_R+r. Следовательно, точка M удалена от прямой m на фиксированное растояние, то есть принадлежит прямой, параллельной прямой m.
С другой стороны, для любой точки этой прямой можно указать две окружности радиусов r и R, для которых она является точкой пересечения общих внутренних касательных.

Ответ

Прямая, параллельная прямой m.

Прислать комментарий

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 115]