а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?
б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

   Решение

а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой? б) А после 10 ходов?

   Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1032]      

а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой? б) А после 10 ходов?

Прислать комментарий

Решение

Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С₁, С₂, сторону BС – в точках A₁, A₂, сторону СA – в точках B₁, B₂. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₁, B₁, A₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₂, B₂, A₂, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, у которого биссектрисы CD и AE лежат на данных прямых, а основания этих биссектрис— данные точки D и E.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что  ∠MKN = 90°.  (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A).

Прислать комментарий

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Через вершину A проведена прямая, перпендикулярная AD, а из вершины B опущен перпендикуляр BB₁ на эту прямую. Докажите, что периметр треугольника BB₁C больше периметра треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1032]