Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
(или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные
от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности
треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются
в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA
и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному
и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения
описанных окружностей треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C
остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются
не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения
прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на
одной прямой (Папп).
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и
CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и
C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то
X — точка пересечения высот треугольника ABC.
На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
Задача 116469 |
|
|
Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из получившихся частей указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части.
|
|
Решение |
Задача 35065 |
|
|
На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.
|
|
Решение |
Задача 66635 |
|
|
Пит М. на квадратном холсте нарисовал композицию из прямоугольников. На рисунке даны площади нескольких прямоугольников, в том числе синего и красного квадратов. Чему равна сумма площадей двух серых прямоугольников?
|
|
|
Решение |
Задача 116860 |
|
|
Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.
Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?
|
|
|
Решение |
Задача 66551 |
|
|
На графике функции $y=1/x$ Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых — это отмеченная точка, еще одна — начало координат, а еще две лежат на осях (на рисунке показано, какой прямоугольник Маша закрасила бы для отмеченной точки $P$). Затем учительница попросила ребят посчитать площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз. Сколько получилось?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
