Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

   Решение

---

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58273

Тема:   [ Покрытия ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58274

Тема:   [ Покрытия ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r2 + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35070

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35120

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Покрытия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру, никакой из них не освещал всю арену, но любые два из них вместе уже освещали всю арену?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34970

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Покрытия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями