Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит  .

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

   Решение

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что  a = b.

   Решение

На стороне квадрата во внешнюю сторону построен прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной квадрата. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника делит плошадь квадрата пополам.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 501]      

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол B — прямой) взята точка D, причём площади треугольников ABD и BCD соответственно в три и в четыре раза меньше площади треугольника ABC. отрезки AD и DC равны соответственно a и c. Найдите BD.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник имеет две неперпендикулярные оси симметрии. Верно ли, что это — квадрат?

Прислать комментарий

Решение

В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?

Прислать комментарий

Решение

На стороне квадрата во внешнюю сторону построен прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной квадрата. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника делит плошадь квадрата пополам.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При этом AK ^. AN = 2BK ^. DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 501]