Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]

Задача 53386

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

Подсказка

Используйте свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Решение

Пусть M – середина гипотенузы AB, K – точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом BC, 7α – искомый угол CAB. Тогда ∠CBA = ∠KAB = 2α (треугольник AKB – равнобедренный). Следовательно, 2α + 7α = 90° = 10°.

Ответ

70°.

Прислать комментарий

Задача 53401

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Решение

Если точка M равноудалена от концов отрезка AB и не принадлежит этому отрезку, то медиана MC равнобедренного треугольника AMB является его высотой, следовательно, MC – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Для середины отрезка утверждение очевидно.
Обратно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку AB, отличная от его середины, равноудалена от его концов, так как высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой. Для середины отрезка утверждение очевидно.

Прислать комментарий

Задача 53414

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Подсказка

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к двум сторонам треугольника, равноудалена от всех вершин треугольника.

Решение

Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC. Они пересекаются, так как перпендикулярные им прямые AB и AC пересекаются.
Пусть O – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и AC. Тогда по свойству серединного перпендикуляра к отрезку OA = OB и
OA = OC, поэтому OB = OC. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, то есть серединный перпендикуляр к стороне BC также проходит через точку O.

Прислать комментарий

Задача 54503

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 10. Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

Подсказка

Примените теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Решение

Поскольку треугольник ABC – равнобедренный, то AB = BC = (40 – 10) : 2 = 15.
Поскольку DE – серединный перпендикуляр к отрезку AB, то AE = BE. Поэтому AC + CE + AE = AC + CE + BE = AC + BC = 10 + 15 = 25.

Ответ

25.

Прислать комментарий

Задача 66499

Тема:

[

Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)

]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.

Решение

Так как AD = AE, то точка A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE (см. рис.). Аналогично точка B лежит на серединном перпендикуляре к DE. Учитывая, что двумя точками прямая определяется однозначно, получим: прямая AB – серединный перпендикуляр к отрезку DE. Так как точка C лежит на серединном перпендикуляре к DE, то C равноудалена от D и E, то есть CD = CE, что и требовалось.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]