Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

   Решение

Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1 перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC наибольшей площади.

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

   Решение

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

   Решение

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

   Решение

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

   Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 604]      

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали такие точки A₂ и C₂, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, а отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABD равен 65°, угол CBD равен 35°, угол ADC равен 130°, и  AB = BC.  Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок, соединяющий вершину A треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 604]