Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Все плоские углы трёхгранного угла равны 90^o . Найдите углы между биссектрисами плоских углов.

Решение

Чему равна сумма arctg x + arcctg x

Решение

Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 +...+ 1999?

Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.

Решение

Докажите формулы:

arcsin(- x) = - arcsin x, arccos(- x) = $\displaystyle \pi$ - arccos x.

Решение

Докажите равенство (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av – bu)².

Решение

Авторы: Богданов И.И., Сухов К.

Дан многочлен P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀, у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

Решение

Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Решение

Вычислите следующие произведения:
а) sin 20^osin 40^osin 60^osin 80^o;
б) cos 20^ocos 40^ocos 60^ocos 80^o.

Решение

Докажите, что сумма $\frac {1}{\sqrt {1} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2} + \sqrt {3}} + \dots + \frac {1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}}$ является целым числом.

Решение

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Решение

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Решение

В треугольнике ABC точка P — центр вписанной окружности, а точка Q — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая PQ перпендикулярна биссектрисе AP треугольника ABC. Известно, что величина угла PAQ равна $\alpha$ . Найдите углы треугольника.

Решение

Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

Решение

Задача 53552

Задача 54120

Задача 54121

Задача 54668

Задача 56457