Каталог по темам

Выбрано 6 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z = a + ib находятся среди чисел

w = ±

± i

Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?

Решение

С помощью одной двусторонней линейки восставьте перпендикуляр к данной прямой l в данной точке A.

Решение

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны, т.е. AB CD и AD BC (в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т.е. AC BD ).

Решение

Три параллельные прямые касаются в точках A , B и C сферы радиуса 4 с центром в точке O . Найдите угол BAC , если известно, что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.

Решение

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB =2 , AD = 4 , BB1 = 12 . Точки M и K расположены на рёбрах CC1 и AD соответственно, причём CM:MC1 = 1:2 , AK = KD . Найдите угол между прямыми AM и KB1 .

Решение

Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.

Решение

Задача 54168

Задача 53634

Задача 54880

Задача 111053

Задача 111054