На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны    и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

   Решение

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  ^m/_n = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_p–1  делится на p.

   Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $P$ – такая точка внутри треугольника, что $\angle APH=\angle BPO=\pi/2$. Докажите, что $\angle PAC=\angle PBA=\angle PCB$.

   Решение

а) Докажите, что  m_a² + m_b² + m_c² 27R²/4.
б) Докажите, что  m_a + m_b + m_c 9R/2.

   Решение

Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

   Решение

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

Высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC, равна h, B = , C = . Найдите остальные высоты этого треугольника.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

   Решение

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
  б) А может ли быть ровно 50?

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Множество M есть объединение k попарно непересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству M. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не меньше ¹/_k.

   Решение

В треугольнике ABC высота BD равна 11,2 а высота AE равна 12. Точка E лежит на стороне BC и BE : EC = 5 : 9. Найдите сторону AC.

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 1358]      

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны    и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC высота BD равна 11,2 а высота AE равна 12. Точка E лежит на стороне BC и BE : EC = 5 : 9. Найдите сторону AC.

Прислать комментарий

Решение

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC высота CD = 7, а высота AE = 6. Точка E делит сторону BC так, что BE : EC = 3 : 4. Найдите сторону AB.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD одно основание в два раза больше другого. Меньшее основание равно c. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, а отношение боковых сторон равно k. Найдите боковые стороны трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 1358]