Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 172]

Задача 55541

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

О выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что окружность с диаметром AB касается прямой CD. Докажите, что окружность с диаметром CD касается прямой AB тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

Прислать комментарий Решение

Задача 78684

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R $\ge$ 1/3.

Прислать комментарий Решение

Задача 52466

[Теорема Штейнера-Лемуса]

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий Решение

Задача 53121

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 56804

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 172]