Каталог по темам

Задачи

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 769]

Задача 55395

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более удалена от от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB² = AC·AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55408

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах BC, CA, и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причём AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁.
Докажите, что A₁, B₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 55473

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55544

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Дранишников А.Н.

Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что AA₁ = BB₁ = CC₁. Докажите, что треугольник ABC правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56476

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 9

В трапецию ABCD (BC || AD) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что KQ || AD.
б) Докажите, что AK·KB = CL·LD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 769]