Версия для печати
Убрать все задачи

---

Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

   Решение

---

Доказать, что число штатов США с нечётным числом соседей чётно.

   Решение

---

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : DB = 1 : 4. Найдите высоту, опущенную из вершины C прямого угла на гипотенузу, если известно, что катет BC равен 10.

   Решение

---

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

---

Хорда окружности пересекает некоторый диаметр под углом, равным 30°, и делит его на отрезки, равные a и b. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

   Решение

---

У треугольника известны стороны  a = 2,  b = 3  и площадь  S = .  Медиана, проведённая к его третьей стороне, меньше её половины.
Найдите радиус описанной окружности этого треугольника .

   Решение

---

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40^o. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части. Найдите эти части.

   Решение

---

Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и биссектрису угла в точках C и D.  AB = ,  CD = .  Найдите радиус окружности.

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть  A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

   Решение

---

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Таня последовательно выписывала числа вида ${n^7-1}$ для натуральных чисел $n=2,3,\ldots$ и заметила, что при $n=8$ полученное число делится на 337. А при каком наименьшем $n\gt 1$ она получит число, делящееся на 2022?

   Решение

---

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

---

Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

   Решение

---

Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?

   Решение

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по отношению диагоналей, углу между диагоналями и стороне.

   Решение

---

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

   Решение

---

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ (P и Q – точки касания); M – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠MKO = ∠MLO.

   Решение

---

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

   Решение

---

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны p_a и p_b. Докажите, что  | p_a| S_BCD = | p_b| S_ACD.

   Решение

---

Через точку P, лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности.
Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

   Решение

---

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

   Решение

---

Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка K. Точка M – середина BC, точка P – середина KM. Докажите, что если ∠APB = ∠CPD = 90°, то AK = DK.

   Решение

---

На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что  AP : AD = 1 : n,  Q – точка пересечения прямых AC и BP.
Докажите, что  AQ : AC = 1 : (n + 1).

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 993]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54088

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Угол при вершине A ромба ABCD равен 20°. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на стороны AD и CD.
Найдите углы треугольника BMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54207

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Точка M расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром O, причём  CM : MD = 1 : 2.
Найдите стороны треугольника AOM, если сторона квадрата равна 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54264

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен 60$deg;. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении  1 : 3.  Найдите стороны параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56461

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что  AP : AD = 1 : n,  Q – точка пересечения прямых AC и BP.
Докажите, что  AQ : AC = 1 : (n + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66124

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3- Классы: 7

Сумма двух сторон прямоугольника равна 7 см, а сумма трёх его сторон равна 9,5 см. Найдите периметр прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 993]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями