Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Исходно на доске написаны многочлены x³ – 3x² + 5 и x² – 4x. Если на доске уже написаны многочлены f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(g(x)) и cf(x), где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида xn – 1 (при натуральном n)?
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними 60o.
Докажите, что у равнобедренного треугольника:
а) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
б) медианы, проведённые из тех же вершин, также равны.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.
Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей
ортогонального пучка, и наоборот.
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 125]
Задача 56735 |
|
|
Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки,
параболический — одну, а эллиптический — ни одной.
|
|
Решение |
Задача 56736 |
|
|
Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она
ортогональна и всем остальным окружностям пучка.
|
|
|
Решение |
Задача 56737 |
|
|
Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного
пучка, образует пучок.
|
|
|
Решение |
Задача 56738 |
|
|
Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей
ортогонального пучка, и наоборот.
|
|
Решение |
Задача 66807 |
|
|
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 125]
