Версия для печати
Убрать все задачи
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Решение
Пятиугольник ABCDE описан около окружности Ω. Сторона BC касается окружности s в точке K. Известно, что AB = BC = CD.
Докажите, что ∠EKB = 90°.
Решение
Пусть u – точка на единичной окружности z
= 1 и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3.
а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам
б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.
Решение
В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два
одинаковых шара радиуса
r , касающиеся основания пирамиды в точках,
принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон
основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и
другого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды
наименьший.
Решение
Точки
K,
L,
M и
N лежат на сторонах
AB,
BC,
CD
и
DA параллелограмма
ABCD, причем отрезки
KM
и
LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки
пересекаются в точке
O. Докажите, что площади параллелограммов
KBLO
и
MDNO равны тогда и только тогда, когда точка
O лежит на
диагонали
AC.
Решение
Фильтр
