Найдите геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, разность расстояний от которых до сторон этого угла имеет данную величину.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 183]      

а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁. Пусть P₁ — произвольная точка прямой BC, P₂ — точка пересечения прямых P₁B₁ и AB, P₃ — точка пересечения прямых P₂A₁ и CA, P₄ — точка пересечения P₃C₁ и BC и т. д. Докажите, что точки P₇ и P₁ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при изогональном сопряжении окружность, проходящая через вершины B и C и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины B и C.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 183]