Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S взята точка O, причем  AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  4S AM ^. BC + BM ^. AC + CM ^. AB, где S — площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?

Прислать комментарий

Решение

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S(a + b)(c + d ).

Прислать комментарий

Решение

В окружность радиуса R вписан многоугольник площади S, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2S/R.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S взята точка O, причем  AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]