ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



Задача 58102

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Теорема Минковского ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58103

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Упаковки ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58104

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Попарные расстояния между точками A1,..., An больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше $ \pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A1,..., An.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58105

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58109

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Свойства параллельного переноса ]
[ Площадь параллелограмма ]
[ Покрытия ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .