Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 58158

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Прислать комментарий Решение

Задача 58159

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 8
Классы: 9,10

Числа $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ , сумма которых равна (n - 2) $\pi$ , удовлетворяют неравенствам 0 < $\alpha_{i}^{}$ < 2 $\pi$ . Докажите, что существует n-угольник A₁...A_n с углами $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ при вершинах A₁,...A_n.

Прислать комментарий Решение

Задача 67504

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости провели $100$ прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?

Прислать комментарий Решение

Задача 64865

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кноп К.А.

Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98279

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]