Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]

Задача 73834

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Метод спуска	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 58205

Тема:

[

Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Существует ли замкнутая ломаная с нечетным числом звеньев равной длины, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решетки?

Прислать комментарий Решение

Задача 58206

Тема:

[

Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 73710

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73787

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]