Даны две прямые l₁ и l₂ и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ такую точку X, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l₂ отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной точке E прямой l₂.

   Решение

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

   Решение

Внешние углы треугольника ABC при вершинах A и C равны 115° и 140°. Прямая, параллельная прямой AC пересекает стороны AB и AC в точках M и N.
Найдите углы треугольника BMN.

   Решение

Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a и b в точках X и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

   Решение

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

   Решение

Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание которой – параллелограмм ABCD . Точки M , N и K лежат на ребрах AS , BS и CS соответственно, причём AM:MS = 1:2 , BN:NS = 1:3 , CK:KS = 1:1 . Постройте сечение пирамиды плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро SD ?

   Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Прислать комментарий

Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]