Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 103]

Задача 58504

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что касательные OA и OB к параболе перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
(а) отрезок AB проходит через фокус параболы;
(б) точка O лежит на директрисе параболы.

Прислать комментарий Решение

Задача 58505

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Касательные к параболе в точках $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ образуют треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) $S_{\alpha\beta\gamma}=2S_{ABC}$ ;
г) $\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}= \sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58506

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки O прямой l проведены касательные OA и OB к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.

Прислать комментарий Решение

Задача 58507

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Пучок параллельных лучей света, отразившись от кривой C, сходится в точке F. Докажите, что C — парабола с фокусом F и осью, параллельной лучам света.

Прислать комментарий Решение

Задача 58508

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Точки A и B лежат на гиперболе. Прямая AB пересекает асимптоты гиперболы в точках A₁ и B₁.
а) Докажите, что AA₁ = BB₁ и AB₁ = BA₁.
б) Докажите, что если прямая A₁B₁ касается гиперболы в точке X, то X — середина отрезка A₁, B₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 103]