ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]      



Задача 58488

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Нормаль к эллипсу в точке A пересекает малую полуось в точке Q, P — проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, что AP . AQ = a2, где a — большая полуось.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58490

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58491

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

а) Из точки O проведены касательные OP и OQ к эллипсу с фокусами F1 и F2. Докажите, что

$\displaystyle \angle$POQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \angle$PF1O + $\displaystyle \angle$PF2O).


б) Отрезок AB виден из фокусов F1 и F2 под углами $ \varphi_{1}^{}$ и $ \varphi_{2}^{}$, соответственно. Докажите, что $ \varphi_{1}^{}$ + $ \varphi_{2}^{}$ = α + β (рис.).

Прислать комментарий     Решение

Задача 58492

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

К эллипсу с центром O проведены две параллельные касательные l1 и l2. Окружность с центром O1 касается (внешним образом) эллипса и прямых l1 и l2. Докажите, что длина отрезка OO1 равна сумме полуосей эллипса.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58493

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC2 = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .