ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки O прямой l проведены касательные OA и OB к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.

   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 99]      



Задача 58504

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что касательные OA и OB к параболе перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
(а) отрезок AB проходит через фокус параболы;
(б) точка O лежит на директрисе параболы.

Прислать комментарий     Решение


Задача 58505

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Касательные к параболе в точках $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ образуют треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) $S_{\alpha\beta\gamma}=2S_{ABC}$;
г) $\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}=
 \sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58506

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки O прямой l проведены касательные OA и OB к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58507

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Пучок параллельных лучей света, отразившись от кривой C, сходится в точке F. Докажите, что C — парабола с фокусом F и осью, параллельной лучам света.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58508

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Точки A и B лежат на гиперболе. Прямая AB пересекает асимптоты гиперболы в точках A1 и B1.
а) Докажите, что AA1 = BB1 и AB1 = BA1.
б) Докажите, что если прямая A1B1 касается гиперболы в точке X, то X — середина отрезка A1, B1.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 99]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .