Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1006]

Задача 60452

[Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]

Тема:

[

Числа Каталана

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению C_n = C₀C_n–1 + C₁C_n–2 + ... + C_n–1C₀.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60671

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p – простое число, то (a + b)^p – a^p – b^p делится на p при любых целых a и b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61420

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Отношение порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида

(k, j, i) ↔ (k – 1, j + 1, i), (k, j, i) ↔ (k – 1, j, i + 1), (k, j, i) ↔ (k, j – 1, i + 1).

(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61507

[Производящие функции многочленов Чебышева]

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61525

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через P_k,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) P_k,l(n) – P_k,l–1(n) = P_k–1,l(n – l);
б) P_k,l(n) – P_k–1,l(n) = P_k,l–1(n – k);
в) P_k,l(n) = P_l,k(n);
г) P_k,l(n) = P_k,l(kl – n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1006]