Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Последовательности
>>
Рекуррентные соотношения
>>
Рекуррентные соотношения (прочее)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣BC : ⌣CD : ⌣DA = 2 : 3 : 5 : 6.
Проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке M.
Найдите угол AMB.
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC = 1$?
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
На высоте правильного треугольника, сторона которого равна b , как на диаметре построена окружность. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит внутри окружности.
Про положительные числа a, b, c, d, e известно, что a² + b² + c² + d² + e² = ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de.
Докажите, что среди этих чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
Основание KM равнобедренного треугольника KLM является хордой окружности, центр которой лежит вне треугольника KLM. Прямые, проходящие через точку L, касаются окружности в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PLQ, если KL = LM = ,
∠KLM = 2 arcsin
, а радиус окружности
равен 1.
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
Наиболее точный календарь ввёл в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365; 4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки?
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2, en = e1e2...en–1 + 1 (n ≥ 2). Все ли числа en являются простыми?
Задачи Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 112]
Задача 61522 |
|
|
Докажите следующие свойства функций gk,l(x)
(определения функций gk,l(x)
смотри здесь):
а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1);
б) gk,l(x) = gl,k(x);
в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
д) gk,l(x) – многочлен степени kl.
Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных
коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
|
|
Решение |
Задача 34854 |
|
|
В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?
|
|
|
Решение |
Задача 60477[Числа Евклида] |
|
|
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2, en = e1e2...en–1 + 1 (n ≥ 2). Все ли числа en являются простыми?
|
|
Решение |
Задача 61306 |
|
|
Последовательность чисел {an} задана условиями
|
|
|
Решение |
Задача 31254 |
|
|
a1 = a2 = 1, an+1 = anan–1 + 1. Доказать, что an не делится на 4.
|
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 112]
