Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

   Решение

---

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

   Решение

---

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
  а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
  б) площадь четырёхугольника O₁O₂O₃O₄ не превосходит 1.

   Решение

---

Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

   Решение

---

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно  [^α/_d].

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 424]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60501

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Для некоторых целых x и y число  3x + 2y  делится на 23. Докажите, что число  17x + 19y  также делится на 23.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60505

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найдите все натуральные  n > 1,  для которых  n³ – 3  делится на  n – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60551

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8,9

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно  [^α/_d].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60552

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство  [^α/_d] = [^[α]/_d].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60650

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 424]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями