Даны 7 различных цифр. Доказать, что для любого натурального числа n найдётся пара данных цифр, сумма которых оканчивается той же цифрой, что и число.

   Решение

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

   Решение

Пусть p – простое число,  p > 2.  Докажите, что любой простой делитель числа  2^p – 1  имеет вид  2kp + 1.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

Докажите, что  7⁵¹ – 1  делится на 103.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при любом целом a
  a)  a⁵ – a  делится на 30;
  б)  a¹⁷ – a  делится на 510;
  в)  a¹¹ – a  делится на 66;
  г)  a⁷³ – a  делится на 2·3·5·7·13·19·37·73.

Прислать комментарий

Решение

Найдите остаток от деления 3¹⁰² на 101.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что ни при каком целом k число  k² + k + 1  не делится на 101.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – простое число,  p > 2.  Докажите, что любой простой делитель числа  2^p – 1  имеет вид  2kp + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]