Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите равенство:

arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$.


Вниз   Решение


Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.

ВверхВниз   Решение


Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если  AB = BC = 2,  ∠B = 2 arcsin ,  а радиус окружности равен 1.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

ВверхВниз   Решение


На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

ВверхВниз   Решение


Известно, что уравнение  x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

ВверхВниз   Решение


Что больше:     или  

ВверхВниз   Решение


В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

ВверхВниз   Решение


В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = 9R/8.  Найдите SM.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.

ВверхВниз   Решение


С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 598]      



Задача 60900

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Троичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8,9

а) У одного человека был подвал, освещавшийся тремя электрическими лампочками. Выключатели этих лампочек находились вне подвала, так что включив любой из выключателей, хозяин должен был спуститься в подвал, чтобы увидеть, какая именно лампочка зажглась. Однажды он придумал способ, как определить для каждого выключателя, какую именно лампочку он включает, сходив в подвал ровно один раз. Какой это способ?
б) Сколько лампочек и выключателей можно идентифицировать друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60901

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 30399

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35322

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите натуральные числа, меньшие 1000 и равные сумме факториалов своих цифр.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35735

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 598]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .