ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  p/q  – рациональный корень многочлена  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  с целыми коэффициентами, то
  а)  a0 делится на p;
  б)  an делится на q.

   Решение

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 416]      



Задача 60869

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что на окружности с центром в точке    лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61013

 [Теорема о рациональных корнях многочлена]
Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  p/q  – рациональный корень многочлена  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  с целыми коэффициентами, то
  а)  a0 делится на p;
  б)  an делится на q.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61018

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Производная и кратные корни ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда  P(a) = 0  и  P'(a) = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61324

 [Геометрико-гармоническое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(1/a, 1/b) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64548

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 3+

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 416]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .