Пусть числа  y₀, y₁, ..., y_n  таковы, что для любого многочлена  f (x) степени  m < n  справедливо равенство:       (*)
Докажите, что    ,   где λ – некоторое фиксированное число.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 63]      

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...,  такая, что  P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  a₁, a₂, ...  различны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

Прислать комментарий

Решение

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

Пусть числа  y₀, y₁, ..., y_n  таковы, что для любого многочлена  f (x) степени  m < n  справедливо равенство:       (*)
Докажите, что    ,   где λ – некоторое фиксированное число.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 63]