Каталог по темам

Задачи

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1006]

Задача 61493

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64538

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64603

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дана таблица (см. рис.).

Можно в ней переставлять строки, а также столбцы (в любом порядке).
Сколько различных таблиц можно получить таким образом из данной таблицы?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65286

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На экзамене даётся три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью
p₁ = 0,2, по геометрии – с вероятностью p₂ = 0,4, по алгебре – с вероятностью p₃ = 0,5. Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на 0,2.
б) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Васе, чтобы математическое ожидание числа решённых задач стало наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65302

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Условная вероятность	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1006]