Версия для печати
Убрать все задачи

---

В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.

   Решение

---

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55014

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4,  AD = 3.  Найдите сторону BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55016

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка E – пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 7, а площадь всего четырёхугольника не превосходит 28;   AD = .  Найдите сторону BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65301

Темы:   [ Математическая статистика ] [ Средние величины ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.
  а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашёл, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?
  б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65369

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64613

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Средние величины ] [ Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями